La Geometría de Euclides además de ser un poderoso instrumento deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento. Pero también ha constituido una considerable abstracción de la realidad, al considerar como normales situaciones que son ideales.

Cuando nos proponemos calcular la longitud de una figura natural, surge el problema si queremos considerar los detalles, pues nos encontramos ante la dificultad de medir todos los quiebres y pliegues del objeto a calcular. Las lineas y curvas se van generando en un proceso de repetición que va añadiendo más detalle a cada paso, extendiendo su longitud hasta el infinito.

La geometría diferenciable proporciona modelos adecuados a una cierta forma de regularidad que permite aproximar las formas geométricas más complejas mediante otras más simples: rectas, planos, etc, pero en la Naturaleza estas figuras son la excepción, mientras que la mayoría de las formas que hay a nuestro alrededor son fractales. La Geometría Fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas; estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala.

A diferencia de la geometría diferenciable, donde los elementos pueden generarse de manera directa, en la Geometría Fractal las formas u objetos son conjuntos de procedimientos matemáticos o algoritmos que rotan, trasladan, re-escalan o deforman de una manera particular; de éste modo encontramos que la Geometría Fractal está constituida por una infinidad de elementos, donde cada transformación completa representa una figura única.

La Geometría Fractal ha resultado ser la que mejor describe la mayoría de los objetos que hay a nuestro alrededor, los cuales son producto de procesos dinámicos complejos, en contra de la idea que se tenía durante siglos de que las formas más comunes eran las descritas por la geometría euclidiana, que obedecen a una matemática lineal, estática y predefinida.

El matemático Mandelbrot acuña el termino fractal (del latín fractus, roto, quebrado) a mediados de la década de los ´70 para designar ciertos objetos geométricos irregulares que están presentes en muchos comportamientos y formas de la Naturaleza. Con ellos construyó un conjunto de nuevas reglas, para explorar la geometría de lo natural. En palabras propias de Mandelbrot: «La Naturaleza no solamente exige un grado mayor sino también un nivel diferente de complejidad».

Pero el origen de los fractales es anterior a Mandelbrot y se remonta a finales del s.XIX, con el “Conjunto de Cantor” y las teorías de Henri Poincaré. A principios del siglo XX. Gaston Julia y Pierre Fatou, habían desarrollado su idea de hacer interacciones con números complejos, y son sobretodo los resultados de estos últimos trabajos los que sirvieron de base a Benoit Mandelbrot, para que años más tarde nos presentara su descubrimiento de la Geometría Fractal.

Los fractales son conjuntos geométricos que se originan mediante la repetición continuada de un proceso matemático concreto. Este proceso, que es por lo general de naturaleza muy simple, es el determinante de la estructura fractal, complicados en apariencia pero que requieren de muy pocos datos para su descripción y construcción. En la posibilidad de construcción y dominio de estructuras muy complejas a través de procesos muy simples, es donde radica la potencia de las estructuras fractales para modelizar y explorar los fenómenos de la Naturaleza.

Las propiedades más notables de las estructuras y objetos fractales son: autosemejanza a cualquier escala, que consiste en la similitud de una parte cualquiera con el conjunto total (la unidad en la multiplicidad o el principio de correspondencia), el proceso de iteración para su obtención, y la dimensión fractal, la cual suele estar determinada por números irracionales por lo que se describen en varias dimensiones a la vez y no corresponden totalmente a ninguna. Otras características peculiares que suelen tener estos objetos son las de poseer áreas definidas pero con perímetros infinitos y poseer detalle a cualquier escala de observación además de ser definidos mediante simples algoritmos.

Los objetos fractales son figuras que no corresponden a una única dimensionalidad. A medida que nos acercamos al objeto observamos que cambiará su dimensión, todo dependerá de la escala en la que se haga la observación. El grado de irregularidad de un fractal será el mismo conforme se vaya cambiando de escala, lo que es una paradoja, ya que será una irregularidad regular. Así la dimensión fractal de un objeto quedará determinada por sus valores fraccionales, por lo que estas regiones o dimensiones estarán definidas por los parámetros del sistema. De esta forma su dimensión geométrica estará siempre entre la línea y la superficie, o entre la superficie y el volumen, o entre el volumen y el tiempo… en espacios n-dimensionales.

Sin embargo, hay muchos sistemas en los que no es uno sólo, sino varios los parámetros que lo conforman, por lo que distinguir la frontera entre un comportamiento periódico y otro caótico no sea nada fácil. A pesar de que el comportamiento de un sistema sea regular y ordenado en un determinado intervalo de tiempo, puede ocurrir y ocurre que de repente sea caótico y muestre características irregulares. Estos sistemas no lineales, muestran un comportamiento bajo ciertas condiciones impredecibles, a pesar de no tener influencia alguna del azar y ser enteramente determinísticos. En ellos puede identificarse uno o varios parámetros de los cuales depende su comportamiento. En estos casos el comportamiento será estable o caótico o incluso ambos, dependiendo de los valores de los parámetros que los describen.

Hemos llamado “Caos” a todo aquello que no podemos sistematizar, y a menudo relacionamos desorden con aleatoriedad, pero lo que nos puede parecer caótico o aleatorio, desde otra distancia o otro punto de vista nos parecerá ordenado o que de alguna manera responde a cierto esquema o patrón.

Las ideas desarrolladas a partir de los fractales y la Teoría del Caos tienen una gran importancia no sólo conceptual sino también de aplicación práctica. En los últimos años han surgido ideas nuevas muy útiles para describir y entender la multitud de fenómenos que se dan en diversas ramas del conocimiento. La Geometría Fractal se ha convertido en una herramienta básica en diferentes campos de la ciencia y la utilización de los fractales y la Teoría del Caos es fundamental en la descripción de fenómenos complejos.

Además de todas estas nuevas concepciones científicas generadas a partir de esta “Geometría del Caos” se le añade el provocar una verdadera revolución en todos los campos, no sólo matemáticos o científicos sino artísticos, filosóficos y del pensamiento en general.

Una nueva geometría que nos permite reproducir y modelizar la mayoría de las formas y dinámicas de los sistemas y procesos naturales que nos rodean; una verdadera Geometría de la Naturaleza que nos proporciona una nueva comprensión del Caos.