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fractal geometry

Most of the natural shapes and patterns that are constantly repeated in this reality physics of the five senses are fractals. They are everywhere; even we ourselves are made up of them ...

FRACTAL GEOMETRY


Benoit Mandelbrot coined the term fractal in the mid-70s to designate certain irregular geometric objects that are present in many behaviors and forms of nature. With them, he built a structure of new rules to discover the geometry present in nature. In his words, "Nature not only demands a higher grade of complexity, but also an entirely different level of complexity." Fractals are geometric sets generated by the continuous repetition of a concrete mathematic process. This process, inherently simple in nature, is the backbone of the fractal structure, seemingly complex, yet built on very little data for its description and construction. It is in the possibility of building and the domination of complex structures through simple processes where of fractal structures lie in remodeling and exploring the phenomenon observed in nature.

But the origin of fractals date prior to Mandelbrot, as far back as the 19th century, with the Cantor Set and the theories of Poincaré. Gaston Julia and Pierre Fatou had already developed the idea of doing interactions with complex numbers in the 20th century. It was on the results of these words that the base of Benoit Mandelbrot years later 'discovery' of the Geometric Fractal.

The most notable characteristics of these shapes and objects are: self-similarity at any scale, which consists of the similarity of any part to the whole (unity in multiplicity or the principle of correspondence), the iteration process for obtaining it and the fractal dimension, which is usually being irrational numbers', it means that they are described in several dimensions at the same time or they do not correspond totally to one. Other peculiar characteristics that they usually have are: defined areas but with infinite perimeters, they have detail at any observation scale and are defined by simple algorithms.

CONNECTIONS


The ideas developed from fractals and chaos have great importance not only conceptually but also in practical applications. In the recent years, useful ideas have come out to describe and understand the multitude of phenomenon that appear in different branches of knowledge. Fractals have converted themselves into a basic tool in different fields of science and knowledge.

Fractal Geometry has direct connections with Chaos Theory. We see fractals in our own bodies. Auto-similarity, characteristic of fractals systems, is found in various anatomical systems; the cardiovascular system, arteries, neuron networks, blood vessels including the heart, from the aorta to the capillaries, placenta, bronques, alveolar ramifications in lungs, intestinal tubes, biliary and bronchial tubes... Chaos has eliminated barriers and frontiers between disciplines in discovering that it shows up in a number of phenomenon and establishes direct connections in different fields: with physics, biology, chemistry, ecology, computer science, robotics, medicine, economy, music, psychology, geology, engineering, astronomy; phenomenon apparently completely different such as the turbulent, the weather, formation of mountains or the distribution of forms of tree branches, the stock market, and other behavior are very similar from the appropriate perspective.

The usage of fractals and chaos theory is fundamental in the description of complex phenomenon non lineal. It appears in the smoke of a cigar, in electrochemical waste, in the trajectory of powder particles suspended into air, in the dynamics of bacterial colony growth, in political theory, tornadoes, storms, lightning, population dynamics, electronic signals, chemical reactions, in the clouds, the earth, and in galaxies. From the geographic location of the epicenters to the formation of fault, everything responds to a fractal pattern. Up to the rhythm of the heartbeat has a fractal pattern, even our eye movements when we look to capture information. All this 'chaotic' behavior, these fractal patterns, can now be described mathematically with this new geometry: Fractal Geometry..

UNIVERSAL FRACTAL


Human beings are a part of an all. We see ourselves as individuals, inside a mega-system of fractal characteristics together with nature, the planet, the galaxy and other galaxies, where we ourselves are determined and configured from the most intimate of our self for a fractal order.
But fractal forms, in addition to presenting themselves in natural form in special objects, are also found in the workings and development of complex systems. We are in this way immersed in a universe full of systems, in macro and microcosmos, which form other more complex systems governed by cycles and which in turn conform to other systems where balance is only possible through a line of cause and effect.

We can now know how reality is with huge precision; reality of forms and rhythsm and movements in nature. Thanks to the general theory provided by Benoit Mandelbrot, we can know exactly dynamics and evolution of inert and live material; Fractal Geometry, are present in a natural way in all the Universe.

Fractals are a unifying tool, merging and linking seemingly opposing or unrelated ideas and worlds: the micro and the macro, the one and the multiple, the finite and the infinite ... they are the instrument to know the secrets of Nature and the order that underlies chaos; and who knows if perhaps, they help us to decode the mind and soul.

La mayoría de las formas y patrones naturales que se repiten constantemente en esta realidad física de los cinco sentidos son fractales. Están en todas partes; incluso nosotros mismos estamos conformados por ellos...

GEOMETRIA FRACTAL


Benoit Mandelbrot acuña el termino fractal a mediados de los años ´70 para designar ciertos objetos geométricos irregulares que están presentes en muchos comportamientos y formas de la Naturaleza. Con ellos construyó un conjunto de nuevas reglas matemáticas para explorar la geometría de la Naturaleza, en palabras propias de Mandelbrot: "La Naturaleza no solamente exige un grado mayor sino también un nivel diferente de complejidad". Los fractales son estructuras geométricas que se originan mediante la repetición continuada de un proceso matemático concreto. Este proceso, que es por lo general de naturaleza muy simple, es el determinante de la estructura fractal, complicados en apariencia pero que requieren de muy pocos datos para su descripción y construcción. Está en la posibilidad de construcción y dominio de estructuras muy complejas a través de procesos muy simples donde radica la potencia de las estructuras fractales para modelizar y explorar los fenómenos de la Naturaleza.

Pero el origen de los fractales es anterior a Mandelbrot y se remonta a finales del s.XIX., con el Conjunto de Cantor y las teorías de Poincaré. Ya a principios del siglo XX. Gaston Julia y Pierre Fatou, desarrollan su idea de hacer interacciones con números complejos. Los resultados de estos trabajos sirvieron de base a Benoit Mandelbrot años más tarde para el "descubrimiento" de la Geometría Fractal.

Las características más notables de las estructuras y objetos fractales son: la autosemejanza a cualquier escala, que consiste en la similitud de una parte cualquiera con el todo (la unidad en la multiplicidad o el principio de correspondencia), el proceso de iteración para su obtención, y la dimensión fractal, la cual suelen ser números irracionales por lo que se describen en varias dimensiones a la vez o no corresponden totalmente a una. Otras características peculiares que suelen tener son: áreas definidas pero con perímetros infinitos, poseen detalle a cualquier escala de observación y pueden ser definidos mediante simples algoritmos.

CONEXIONES


Las ideas desarrolladas a partir de los fractales y el caos tienen una gran importancia no sólo conceptual sino también de aplicación práctica. Los fractales se han convertido en una herramienta básica en diferentes campos de la ciencia y el conocimiento.

La Geometría Fractal tiene conexiones directas con la Teoría del Caos. Encontramos así fractales en nuestro propio cuerpo; la auto-similitud, característica de los sistemas fractales se encuentra en distintos sistemas y órganos anatómicos: red vascular, arterias, redes neuronales, vasos sanguíneos incluido el corazón; desde la aorta hasta los capilares, placenta, bronquios, ramificación alveolar en los pulmones, tubos intestinales, biliares y bronquiales...
El caos ha eliminado barreras y fronteras entre disciplinas al descubrirse que subyace en multitud de fenómenos y establece conexiones directas en diferentes campos: física, biología, química, ecología, informática, robótica, medicina, economía, música, psicología, geología, ingeniería, astronomía; fenómenos completamente distintos aparentemente cómo las turbulencias, el clima, la formación de montañas o la distribución y forma de las ramas de un árbol, el índice de la bolsa y otros comportamientos son muy similares en sus dinamicas y desarrollos.

La utilización de los fractales y la teoría del caos, es fundamental en la descripción de fenómenos complejos dinámicos no lineales. Aparecen en el humo de un cigarro, en los depósitos y agregados electroquimícos, en la trayectoria de las partículas de polvo suspendidas en el aire, en las dinámicas de crecimiento de las colonias de bacterias, en la teoría política, tornados, borrascas, relámpagos, dinámica de poblaciones, señales electrónicas y electromagnéticas, reacciones químicas; están en las nubes, en la tierra, en los ríos... en las galaxias.
Desde la localización geográfica de epicentros hasta la formación de una falla, todo responde a un patrón fractal. Hasta el ritmo del corazón tiene un patrón fractal; incluso está en el movimiento que realizan nuestros ojos, cuando miramos para captar la información.
Todos estos comportamientos "caóticos", estos patrones fractales, pueden ahora describirse matemáticamente con esta nueva geometría: la Geometría Fractal.

UNIVERSO FRACTAL


El ser humano es una parte de un todo. Nos encontramos como individuos, dentro de un mega-sistema de características fractales junto con la Naturaleza, nuestro planeta y la galaxia, donde nosotros mismos estamos determinados y configurados desde lo más íntimo de nuestro ser por un orden fractal.
Pero los fractales además de estar presentes en las formas espaciales de los objetos también se encuentran en el funcionamiento y desarrollo de los sistemas complejos. Estamos así inmersos en un multiverso repleto de sistemas, en el macro y microcosmos, que forman parte de otros sistemas más complejos regidos por ciclos y que a su vez conforman otros sistemas y ciclos; y dónde el equilibrio sólo es posible a través de una linea de causas y efectos.

Ahora ya podemos saber cómo es la realidad con gran precisión; la realidad de las formas, el ritmo y el movimiento de la Naturaleza. Gracias a la teoría general proporcionada por Benoit Mandelbrot, podemos conocer con exactitud la dinámica y evolución de lo inerte y de la materia viva; la Geometría Fractal, está presente de manera natural en todo el universo.

Los fractales son un instrumento unificador, fusionan y vinculan ideas y mundos aparentemente opuestos o inconexos: lo micro y lo macro, lo uno y lo multiple, lo finito y lo infinito, el orden y el caos... son el instrumento para conocer los secretos de la Naturaleza y el orden que subyace en el caos; y quién sabe si quizás, nos sirvan para descifrar la mente y el alma.